数论主要研究的是整数的性质,数论算法也是一块非常有意思的内容.数论的算法一般并不深奥,但是很精妙(当然,有些算法的背后有着很深刻的问题,比如Miller-Rabin测试背后的Generalized Riemann Hypothesis).
数论的相当多算法都已经被研究了很长时间了,比如质因数分解(而它到现在为止都没有给出对于大数据有效的算法.)数论的问题,是非常深刻的,而且影响着数学的方方面面.
有一点要特别注意,那就是这里所说的数论算法,事实上包括了一些更大的领域的内容,如组合学之类的.
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质因数分解的困难性可以从一些地方看出来,如现在还没有多项式的质因数分解算法.已知的最好的算法是广数域筛法(General Field Sieve).随着对于质因数分解的算法的研究的不断深入,由于一种广泛运用着的不对称加密方式:RSA加密,这个以质因数分解的困难性作为它安全的保障的算法,安全性已经岌岌可危了.人类的进步总是要伴随着某些损失,不是么?